Question

2．已知f（x）=ax³+bx²+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0]和[1，+∞）上是减函数，且f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由“f（x）在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数”，则有f'（0）=f'（1）=0，再由f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$求解；
（2）首先将“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”转化为“x（2x-1）（x-1）≥0，x∈[0，m]成立”求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{b=-\frac{3}{2}a}\end{array}\right.$，
∴f'（x）=3ax²-3ax，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3a}{4}$-$\frac{3a}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²．
（2）由f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴0≤x≤$\frac{1}{2}$或x≥1．
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查利用函数的极值点和导数值来求函数解析式及不等式恒成立问题．