Question

17．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{20π}{3}$
• B． 8π
• C． 9π
• D． $\frac{19π}{3}$

Answer 1

分析 作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径，即可求出该几何体外接球的表面积．

解答 解：该几何体为三棱锥A-BCD，
设球心为O，O₁，O₂分别为△BCD和△ABD的外心，
依题意$O{O_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}AB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，${O_1}D=\frac{1}{2}CD=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
∴球的半径$R=\sqrt{OO_1^2+{O_1}{D^2}}=\sqrt{\frac{19}{12}}$，
∴该几何体外接球的表面积为$S=4π{R^2}=\frac{19π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥与外接球的关系，作出直观图是解题关键．