题目内容

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
x
4
）=
1
2
f（x），且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），则f（
1
2010
）的值为（　　）
A．
1
256
B．
1
128
C．
1
64
D．
1
32
由f（x）+f（1-x）=1，f（0）=0得：f（1）=1 又令x=
1
2
得：f(
1
2
) =
1
2
  
由f（
x
4
）=
1
2
f（x）得：f(
1
4
) =
1
2
f(1)=
1
2

∵当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），∴当
1
4
≤x ≤
1
2
时，f(x)=
1
2
 
当
1
2
≤x ≤
3
4
时，
1
4
≤1-x≤ 
1
2
，∴f(1-x)=
1
2
，∴f(x)=1- f(1-x)= 1-
1
2
=
1
2

又由f（
x
4
）=
1
2
f（x）得：f(
1
2010
) =
1
2
f(
2
1005
) =
1
4
f(
8
1005
)=
1
8
f(
32
1005
)=
1
16
f(
128
1005
)=
1
32
f(
512
1005
)
∵
1
2
＜
512
1005
＜
3
4
，∴f(
512
1005
) =
1
2
，∴f(
1
2010
) =
1
32
×
1
2
=
1
64

故选C
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=
 
．
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）

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