Question

18．求y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}-x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可将原函数变成$y=1+\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，容易得到${x}^{2}-x+1≥\frac{3}{4}$，从而可求出$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$的范围，从而便求出原函数的值域．

解答 解：$y=\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{{x}^{2}-x+1+1}{{x}^{2}-x+1}=1+\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$；
${x}^{2}-x+1=（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{4}{3}$；
∴$1＜y≤\frac{7}{3}$；
∴原函数的值域为（1，$\frac{7}{3}$]．

点评 考查值域的概念，配方求二次函数值域的方法，不等式的性质：同向不等式取倒数后改变方向．