Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为A_n，点（n，A_n）在函数y=x²+2x的图象上，等比数列{b_n}前n项和为B_n，且b_n 是B_n与2的等差中项．
（1）求b₁，b₂ ；
（2）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n和b_n
（3）设c_n=a_nb_n．求数列{c_n}的前n项和C_n．

Answer 1

分析 （1）通过将点（n，A_n）代入y=x²+2x可知A_n=n²+2n，进而计算可得结论；
（2）通过A_n=n²+2n与=A_n+1=（n+1）²+2（n+1）作差、计算可知a_n=2n+1；通过b_n 是B_n与2的等差中项可知2b_n=B_n+2，并与2b_n+1=B_n+1+2作差、整理可知b_n+1=2b_n，进而计算可得结论；
（3）通过（2）可知c_n=（2n+1）2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵点（n，A_n）在函数y=x²+2x的图象上，
∴A_n=n²+2n，
∴b₁=A₁=1+2=3，
b₂=A₂-A₁=4+4-1-2=5；
（2）∵A_n=n²+2n，
∴a_n+1=A_n+1-A_n
=（n+1）²+2（n+1）-（n²+2n）
=2n+3
=2（n+1）+1，
又∵b₁=3满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
∵b_n 是B_n与2的等差中项，
∴2b_n=B_n+2，
∴2b_n+1=B_n+1+2，
两式相减得：2b_n+1-2b_n=b_n+1，
整理得：b_n+1=2b_n，
又∵2b₁=B₁+2，即b₁=2，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ；
（3）由（2）可知c_n=a_nb_n=（2n+1）2ⁿ，
∴C_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
2C_n=3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-C_n=3•2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴C_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．