Question

【题目】如图，在底面是正三角形的三棱锥中,D 为PC的中点，，

（1）求证：平面 ；

（2）求 BD 与平面 ABC 所成角的大小；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）（3）

【解析】

（1）推导出，，由此能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，平面中垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值．

证明：（1），，，

底面是正三角形，，

，，

，，平面，

平面．

（2）以为原点，为轴，为轴，平面中垂直于的直线为轴，

建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，，，0，，

，．

平面的法向量为，0，，

记与平面所成的角为，

则，

，

与平面所成角为．

（3）设平面的法向量为，，，

则，取，得，2，．

记二面角的大小为，

则，

二面角的余弦值为．