Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若，求的值；

⑶设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】试题分析：（1）；（2）由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，故． （3）设，则，通过直线和椭圆方程，解得， ，所以，即存在。

试题解析：

（1）设椭圆方程为，由题意知：

解之得： ，所以椭圆方程为：

（2）若，由椭圆对称性，知，所以，

此时直线方程为，

由，得，解得（舍去），

故．

（3）设，则，

直线的方程为，代入椭圆方程，得

　　　　　，

因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，

又在直线上，所以，

同理， 点坐标为， ，

所以，

即存在，使得．