题目内容
定义在R上的奇函数f（x），周期为4，且x∈（0，2）时，f（x）=
．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=
在x∈（0，2）上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
| 3x |
| 9x+1 |
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=
| 2 |
| 3x+2a |
考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性
专题：函数的性质及应用
分析：（1）设x∈（-2，0），则-x∈（0，2），利用f（x）=-f（-x）和条件求出解析式，再由奇函数的性质和周期性求出端点处的函数值；
（2）把方程f（x）=
化简后，t=3x并求出t的范围，将问题转化为：方程t2-2at+2=0，t∈（1，9）有两个不等实根，根据二次方程根的分布问题列出不等式组，求出a的取值范围．
（2）把方程f（x）=
| 2 |
| 3x+2a |
解答：
解：（1）∵当x∈（0，2）时，奇函数f（x）=
，
设x∈（-2，0），则-x∈（0，2），
∴f(x)=-f(-x)=-
，
又∵f（x）即为奇函数，且周期为4，
∴f（0）=0，f（2）=f（-2）=0，
∴f(x)=
，
（2）由f（x）=
得，
=
，
化简得：（3x）2-2a•（3x）+2=0，
令t=3x，得到t2-2at+2=0，t∈（1，9），
即方程t2-2at+2=0，t∈（1，9）有两个不等实根，
令g（t）=t2-2at+2，∴
，
解得
＜a＜
，
故实数a的取值范围：
＜a＜
．
| 3x |
| 9x+1 |
设x∈（-2，0），则-x∈（0，2），
∴f(x)=-f(-x)=-
| 3x |
| 9x+1 |
又∵f（x）即为奇函数，且周期为4，
∴f（0）=0，f（2）=f（-2）=0，
∴f(x)=
|
（2）由f（x）=
| 2 |
| 3x+2a |
| 3x |
| 9x+1 |
| 2 |
| 3x+2a |
化简得：（3x）2-2a•（3x）+2=0，
令t=3x，得到t2-2at+2=0，t∈（1，9），
即方程t2-2at+2=0，t∈（1，9）有两个不等实根，
令g（t）=t2-2at+2，∴
|
解得
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故实数a的取值范围：
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，二次方程根的分布问题，以及换元法，属于中档题．
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
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