题目内容

2.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),过点B(0,b)作圆x2+y2=$\frac{{b}^{2}}{4}$的两条切线BM、BN,切点分别为点M和N,若$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$,且该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,点O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点F1、F2分别是椭圆C的左右焦点,四个顶点都在椭圆C上的平行四边形PQIJ的两条对边PQ、IJ分别经过点F1、F2,求平行四边形PQIJ面积的最大值.

分析 (Ⅰ)由题意∠MBN=60°,BM=BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,利用$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$,求出b,椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,可得a,c,即可求椭圆C的方程;
(Ⅱ)由题意,平行四边形PQIJ面积最大时,平行四边形PQIJ为矩形,即可得出结论.

解答 解:(Ⅰ)由题意∠MBN=60°,BM=BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,
∵$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$,
∴$\frac{3}{4}{b}^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$,
∴b=1,
∵椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴c=1,a=$\sqrt{2}$,
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1由题意;
(Ⅱ)由题意,平行四边形PQIJ面积最大时,平行四边形PQIJ为矩形,
∵x=1时,y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴平行四边形PQIJ面积的最大值为2$\sqrt{2}$.

点评 本题考查椭圆的方程与性质,考查向量知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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