Question

设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；

    （2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；

    （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．

Answer 1

（1）（） （2）共有个，的最小值为

（3）2

解析:

解：（1）由题意得，  ①， 

当时，，解得，……（1分）

当时，有  ②，

①式减去②式得，

于是，，，……（2分）

因为，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，……（3分）

所以的通项公式为（）．……（4分）

（2）设存在满足条件的正整数，则，，

，……（6分）

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均满足条件，

它们组成首项为，公差为的等差数列．……（8分）

设共有个满足条件的正整数，则，解得．……（10分）

所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．……（12分）

（3）设，即，……（15分），

则

，其极限存在，且

．……（18分）

注：（为非零常数），（为非零常数），

（为非零常数，）等都能使存在．

按学生给出的答案酌情给分，写出数列正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．