题目内容

14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点.
(1)求证:BD⊥A1M;
(2)求证:平面A1BD⊥平面MBD.

分析 (1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明BD⊥A1M.
(2)求出平面A1BD的法向量和设平面MBD的法向量,由两平面的法向量的数量积为0,能证明平面A1BD⊥平面MBD.

解答 (1)证明:设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(2,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),M(0,2,1),
$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=(-2,2,-1),
∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=-4+4+0=0,
∴BD⊥A1M.
(2)$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=(2,0,2),$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),$\overrightarrow{DM}$=(0,2,1),
设平面A1BD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,-1),
设平面MBD的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=2b+c=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-1,2)
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+1-2=0,
∴平面A1BD⊥平面MBD.

点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查两平面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网