Question

4．淮北市政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一段曲线段．
（1）若QP=x，阴影部分的面积为S，用x表示S的解析式；
（2）试求该高科技工业园区的最大面积．

Answer 1

分析 （1）如图所示建立平面直角坐标系，从而写出各点的坐标，从而可得|EQ|=4-x²，|RP|=x+4-x²，|QP|=x，从而求得；
（2）求导S′=-3x²+x+4=（-3x+4）（x+1），从而可得当x=$\frac{4}{3}$时，有最大面积S=-$\frac{{4}^{3}}{{3}^{3}}$+$\frac{\frac{{4}^{2}}{{3}^{2}}}{2}$+4×$\frac{4}{3}$=$\frac{104}{27}$．

解答 解：（1）如图所示建立平面直角坐标系，如右图，
A（0，0），B（2，0），C（2，6），
D（0，6），E（0，4），F（2，4），
易知抛物线的方程为y=x²，
由QP=x，（0＜x＜2），点P（x，x²）；
直线CE的方程为y=x+4，
故点R（x，x+4）；
故|EQ|=4-x²，|RP|=x+4-x²，|QP|=x，
故S=$\frac{1}{2}$（4-x²+x+4-x²）•x=-x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+4x；
（2）∵S=-x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+4x，
∴S′=-3x²+x+4=（-3x+4）（x+1），
∴S在（0，$\frac{4}{3}$）上是增函数，在（$\frac{4}{3}$，2）上是减函数，
故当x=$\frac{4}{3}$时，有最大面积S=-$\frac{{4}^{3}}{{3}^{3}}$+$\frac{\frac{{4}^{2}}{{3}^{2}}}{2}$+4×$\frac{4}{3}$=$\frac{104}{27}$；
故该高科技工业园区的最大面积为$\frac{104}{27}$km²．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的综合应用．