题目内容
6．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1的中点．（1）求证：BC⊥AM；
（2）若N是AB的中点，求证CN∥平面AB1M．
分析 （1）通过证明BC⊥C1C，BC⊥AC，推出BC⊥平面ACC1A1，然后证明BC⊥AM．
（2）取AB1的中点P，连接MP，NP，证明NP∥B B1，推出NP∥CM，然后证明CN∥平面AB1M．
解答 
（1）证明：∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C，
又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，
∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM． …（6分）
（2）证明：取AB1的中点P，连接MP，NP，
∵P为A B1中点，N为AB中点，∴NP为△AB B1的中位线，∴NP∥B B1，
又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，M是棱CC1的中点，∴MC∥B1B，
∴NP∥CM，NP=$\frac{1}{2}$BB1=$\frac{1}{2}$CC1=CM，
∴NP$\underset{∥}{=}$CM，四边形CNPM为平行四边形，
∴NC∥PM，∴CN∥平面AB1M…（14分）
点评 本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
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相关题目
16．
跳广场舞是现在广大市民喜爱的户外健身运动，某健身运动公司为了解本地区市民对跳广场舞的热衷程度，随机抽取了100名跳广场舞的市民，统计其年龄（单位：岁）并整理得到如下的频率分布直方图（其中年龄的分组区间分别为[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]），其中女性市民有55名，将所抽样本中年龄不小于50岁跳广场舞的市民称为“广舞迷”．已知其中有30名女性广舞迷．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关？
（2）将所抽样本中不小于60岁的广舞迷称为“超级广舞迷”，现从广舞迷中随机抽出2名市民，求其中超级广舞迷人数的分布列与期望．
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
跳广场舞是现在广大市民喜爱的户外健身运动，某健身运动公司为了解本地区市民对跳广场舞的热衷程度，随机抽取了100名跳广场舞的市民，统计其年龄（单位：岁）并整理得到如下的频率分布直方图（其中年龄的分组区间分别为[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]），其中女性市民有55名，将所抽样本中年龄不小于50岁跳广场舞的市民称为“广舞迷”．已知其中有30名女性广舞迷．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关？
| 广舞迷 | 非广舞迷 | 合计 | |
| 男 | |||
| 女 | |||
| 合计 |
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
| P（K2≥k0） | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |