Question

16．跳广场舞是现在广大市民喜爱的户外健身运动，某健身运动公司为了解本地区市民对跳广场舞的热衷程度，随机抽取了100名跳广场舞的市民，统计其年龄（单位：岁）并整理得到如下的频率分布直方图（其中年龄的分组区间分别为[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]），其中女性市民有55名，将所抽样本中年龄不小于50岁跳广场舞的市民称为“广舞迷”．已知其中有30名女性广舞迷．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关？

	广舞迷	非广舞迷	合计
男
女
合计

（2）将所抽样本中不小于60岁的广舞迷称为“超级广舞迷”，现从广舞迷中随机抽出2名市民，求其中超级广舞迷人数的分布列与期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005
k0	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （1）由题意，广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，可得2×2列联表，利用公式求出k²，与临界值比较，即可得出结论；
（2）广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，超级广舞迷有0.005×10×100=5人，超级广舞迷人数ξ的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由题意，广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人．
2×2列联表

	广舞迷	非广舞迷	合计
男	15	35	50
女	30	20	50
合计	45	55	100

k²=$\frac{100×（15×20-30×35）^{2}}{45×55×50×50}$=9.09＞7.879，
∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关；
（2）广舞迷有（0.04×10+0.005×10）×100=45人，超级广舞迷有0.005×10×100=5人
超级广舞迷人数ξ的所有可能取值为0，1，2，则
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{40}^{2}}{{C}_{45}^{2}}$=$\frac{26}{33}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{40}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{45}^{2}}$=$\frac{20}{99}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{45}^{2}}$=$\frac{1}{99}$
ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{26}{33}$	$\frac{20}{99}$	$\frac{1}{99}$

∴Eξ=0×$\frac{26}{33}$+1×$\frac{20}{99}$+2×$\frac{1}{99}$=$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查独立性检验的应用，考查概率的求解，考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．