Question

17．如图，某地区有四个单位分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB=2km，BC=4km，四个单位商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在变BC，CD上运动，若∠MAN=$\frac{π}{4}$，则△AMN面积的最小值为8$\sqrt{2}$-8km²．

Answer 1

分析 设∠BAM=α，由题意可知，AM=$\frac{2}{cosα}$，AN=$\frac{4}{cos（45°-α）}$，可求三角形面积，利用三角函数的恒等变换化简得到S_△AMN关于α的三角函数，利用正弦函数的性质结合α的范围即可计算得解．

解答 解：设∠BAM=α，
由题意可知，AM=$\frac{2}{cosα}$，AN=$\frac{4}{cos（45°-α）}$，
则S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ANsin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{cosα}$×$\frac{4}{cos（45°-α）}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{8}{1+\sqrt{2}sin（2α+45°）}$，
当α=22.5°时，三角形AMN面积最小，最小值为（8$\sqrt{2}$-8）km²．
故答案为：8$\sqrt{2}$-8．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角形的面积公式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．