Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右顶点，离心率为$\frac{1}{2}$，且椭圆过定点$（1，\frac{3}{2}）$，P为椭圆右准线上任意一点，直线PA，PB分别交椭圆于M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段MN与x轴交于Q点且$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{QN}$，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=2c，b²=a²-c²=3c²，将点代入椭圆方程，即可求得a，b和c的值，求得椭圆方程；
（2）求得椭圆的准线方程，设P，求得PA和PB的方程，代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据向量数量积的坐标运算，即可求得λ=$\frac{\frac{18t}{{t}^{2}+27}}{\frac{6t}{{t}^{2}+3}}$=$\frac{3（{t}^{2}+3）}{{t}^{2}+27}$，根据函数的性质即可求得λ的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，则b²=a²-c²=3c²，
将$（1，\frac{3}{2}）$代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，即$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{3}{4{c}^{2}}=1$，
解得：c=1，
则a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知：则准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，设P（4，t），A（-2，0），B（2，0）
则直线PA的斜率k₁=$\frac{t}{4-（-2）}$=$\frac{t}{6}$，直线PA的方程y=$\frac{t}{6}$（x+2），
直线PB的斜率k₁=$\frac{t}{4-2}$=$\frac{t}{2}$，直线PB的方程y=$\frac{t}{2}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{6}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{54-2{t}^{2}}{{t}^{2}+27}}\\{y=\frac{18t}{{t}^{2}+27}}\end{array}\right.$，则M（$\frac{54-2{t}^{2}}{{t}^{2}+27}$，$\frac{18t}{{t}^{2}+27}$），
同理可得：N（$\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+3}$，$\frac{-6t}{{t}^{2}+3}$），
由设Q（x，0），由$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{QN}$，则$\overrightarrow{MQ}$=（x-$\frac{54-2{t}^{2}}{{t}^{2}+27}$，-$\frac{18t}{{t}^{2}+27}$），$\overrightarrow{QN}$=（$\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+3}$-x，$\frac{-6t}{{t}^{2}+3}$），
-$\frac{18t}{{t}^{2}+27}$=λ$\frac{-6t}{{t}^{2}+3}$，则λ=$\frac{\frac{18t}{{t}^{2}+27}}{\frac{6t}{{t}^{2}+3}}$=$\frac{3（{t}^{2}+3）}{{t}^{2}+27}$=$\frac{3（{t}^{2}+27）-72}{{t}^{2}+27}$=3-$\frac{72}{{t}^{2}+27}$，
则0＜λ＜3，
λ的取值范围（0，3）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量的坐标运算，考查函数的最值，考查计算能力，属于中档题．