Question

已知函数．
（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：函数的定义域是（-∞．0）∪（0，+∞）
由，
可得，
所以函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则==，
由x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，可知x₁＜x₂，x₁x₂-1＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂）．
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数
分析：（Ⅰ）利用奇函数的定义，考查f（-x）=-f（x）在定义域内是否恒成立，若是则为奇函数，否则不是奇函数．
（Ⅱ）利用增函数的定义，证明对于（1，+∞）内任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即可．
点评：本题考查函数奇偶性的判断、单调性的证明．严格按照定义解决．利用定义证明单调性是采用的步骤是：取值-作差-变形定号-下结论