题目内容
（1）已知|
|=4，|
|=3，（2
-3
）•（2
+
）=61，求
与
的夹角θ；
（2）设
=（2，5），
=（3，1），
=（6，3），在
上是否存在点M，使
⊥
，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）设
| OA |
| OB |
| OC |
| OC |
| MA |
| MB |
分析：（1）根据（2
-3
）•（2
+
）=61求出
•
=-6然后再利用向量的夹角公式cos＜
，
＞=
再结合＜
，
＞∈[0，π]即可求出
与
的夹角θ．
（2）假设存在点M符合题意则可设
=λ
=(6λ，3λ)(0＜λ≤1)即M（6λ，3λ）从而求出
，
再根据
⊥
利用向量数量积的坐标计算再结合0＜λ≤1即可求出λ进而求出点M．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| ||||
|
|
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）假设存在点M符合题意则可设
| OM |
| OC |
| MA |
| MB |
| MA |
| MB |
解答：解：（1）∵（2
-3
）•（2
+
）=61
∴4
2-4
•
-3
2=61
又∵|
|=4，|
|=3
∴
•
=-6．…3分
∴cosθ=
=-
∴θ=120°．…6分
（2）设存在点M，且
=λ
=(6λ，3λ)(0＜λ≤1)
∴
=(2-6λ，5-3λ)，
=(3-6λ，1-3λ)．…8分
∵
⊥
∴
•
=0
∴（2-6λ）（3-6λ）+（5-3λ）（1-3λ）=0，…10分
∴45λ2-48λ+11=0，解得：λ=
或λ=
∴
=(2，1)或
=(
，
)
∴存在M（2，1）或M(
，
)满足题意．…16分．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴4
| a |
| a |
| b |
| b |
又∵|
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∴cosθ=
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴θ=120°．…6分
（2）设存在点M，且
| OM |
| OC |
∴
| MA |
| MB |
∵
| MA |
| MB |
∴
| MA |
| MB |
∴（2-6λ）（3-6λ）+（5-3λ）（1-3λ）=0，…10分
∴45λ2-48λ+11=0，解得：λ=
| 1 |
| 3 |
| 11 |
| 15 |
∴
| OM |
| OM |
| 22 |
| 5 |
| 11 |
| 5 |
∴存在M（2，1）或M(
| 22 |
| 5 |
| 11 |
| 5 |
点评：本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜
，
＞=
同时要注意＜
，
＞∈[0，π]这一隐含条件以及
⊥
的等价条件
•
=0!
| a |
| b |
| ||||
|
|
| a |
| b |
| MA |
| MB |
| MA |
| MB |
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