题目内容
试比较函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上的增长快慢．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：利用幂函数与对数函数的增长速度的差异，当x足够大时，函数y=x2导数远大于函数y=xlnxd的导数，故在（1，+∞）上增长较快的是幂函数，对数函数增长较慢．
解答：
解：函数y=x2导数的为y′=2x，函数y=xlnx的导数为 y′=lnx+1，
设g（x）=2x-（lnx+1）=2x-lnx-1，
则g′（x）=2-
，
当x→+∞时，g′（x）=2-
＞0，即函数g（x）单调递增，
则g（x）＞g（1）=2-1=1＞0，
即2x＞lnx+1，
故函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是函数 y=x2．
设g（x）=2x-（lnx+1）=2x-lnx-1，
则g′（x）=2-
| 1 |
| x |
当x→+∞时，g′（x）=2-
| 1 |
| x |
则g（x）＞g（1）=2-1=1＞0，
即2x＞lnx+1，
故函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是函数 y=x2．
点评：本题考查幂函数与对数函数的增长速度的差异，求函数的导数，利用导数研究函数的性质是解决本题的关键．
练习册系列答案
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