Question

（2013•合肥二模）在数{a_n}中，a₁=1，a₂=

10

3

，a_n+1-

10

3

a_n+a_n-1=0（n≥2，且n∈N^*）
（I）若数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，求实数λ；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设S_n=

n

i=1

1

ai

求证：S_n＜

3

2

．

Answer 1

分析：（I）由数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，可设a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），根据条件即可得到结论；
（II）n≥2时，a_n-

1

3

a_n-1=3^n-1①，a_n-3a_n-1=

1

3n-1

②，从而可求数列的通项；
（III）证明

1

an

＜

1

3

•

1

an-1

（n≥2），利用放缩法，可得结论．

解答：（I）解：由数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，可设a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1）（n≥2）
∴a_n+1+（λ-μ）a_n-λμa_n-1=0，
∵a_n+1-

10

3

a_n+a_n-1=0，
∴

λ-μ=- 10 3 λμ=-1

，
∴λ=-

1

3

或λ=-3；
（II）解：由上知，n≥2时，a_n-

1

3

a_n-1=3^n-1①
∴a_n-3a_n-1=

1

3n-1

②
由①②可得an=

3

8

(3n-

1

3n

)；
（III）证明：由（II）知，an=

3

8

(3n-

1

3n

)＞0，
∵a_n-3a_n-1=

1

3n-1

，∴a_n＞3a_n-1
∴

1

an

＜

1

3

•

1

an-1

（n≥2）
∴S_n＜

1

a1

+

1

3

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)=

1

a1

+

1

3

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

)-

1

3an

＜

1

a1

+

1

3

Sn
∴S_n＜

3

2

．

点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的运用，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．