题目内容
某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试．学生甲三轮考试通过的概率分别为
，
，
，且各轮考核通过与否相互独立．
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金．记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和均值．
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金．记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和均值．
分析：（1）根据所给的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果．
（2）根据学生甲得到教育基金的金额为X，X的次数的取值是0元，1000元，2000元，3000元，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可
（2）根据学生甲得到教育基金的金额为X，X的次数的取值是0元，1000元，2000元，3000元，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可
解答：解：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，
则P(A)=
×
×
=
，
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
． …3分
（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元． …4分
P(X=0)=1-
=
，…5分P(X=1000)=
×(1-
)=
，…6分
P(X=2000)=
×
×
=
，…7分
P(X=3000)=
×
×
=
．
所以，X的分布列为
均值为E(X)=0×
+1000×
+2000×
+3000×
=
…9分．
则P(A)=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
| 2 |
| 5 |
（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元． …4分
P(X=0)=1-
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
P(X=2000)=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
P(X=3000)=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
所以，X的分布列为
| X | 0 | 1000 | 2000 | 3000 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 10 |
| 2 |
| 5 |
| 4700 |
| 3 |
点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．
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，
，
，且各轮考核通过与否相互独立．