Question

已知平面上两点M（-1，0），N（1，0），若曲线上存在点P使得|PM|+|PN|=4，则称该曲线为“1?

1

2

曲线”，下列曲线中是“1?

1

2

曲线”的是

 

（将正确答案的序号写到横线上）
①x²+y²=4
②

x2

3

+

y2

4

=1
③

x2

25

-

y2

16

=1
④y²=8x．

Answer 1

考点：椭圆的定义

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，动点P的轨迹是椭圆，写出椭圆的方程以及x、y的取值范围；
由此判定①、②、③、④中方程所表示的几何图形以及x、y的取值范围，得出正确的序号．

解答： 解：根据题意，动点P的轨迹是椭圆，且焦点为M（-1，0），N（1，0），2a=4；
∴a=2，c=1，b=

3

；
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，x∈[-2，2]，y∈[-

3

，

3

]；
对于①，x²+y²=4表示圆心在原点，半径为2的圆，且x∈[-2，2]，y∈[-2，2]，∴该圆上存在满足条件的点P；∴①正确．
对于②，

x2

3

+

y2

4

=1表示椭圆，且x∈[-

3

，

3

]，y∈[-2，2]，∴该椭圆上存在满足条件的点P；∴②正确．
对于③，

x2

25

-

y2

16

=1表示双曲线，且x∈（-∞，-5]∪[5，+∞），y∈（-∞，-4]∪[4，+∞），∴该双曲线上不存在满足条件的点P；∴③错误．
对于④，y²=8x表示抛物线，且x∈[0，+∞），y∈R，∴该抛物线上存在满足条件的点P；∴④正确．
综上，正确的序号是①②④；
故答案为：①②④．

点评：本题考查了圆锥曲线的方程以及性质的应用问题，解题时应熟练地掌握几类常用的圆锥曲线方程与它们的几何性质，是中档题．