Question

求函数y=tan²x－2tanx－3,x∈［+kπ, +kπ］,k∈Z的值域.

Answer 1

思路分析：换元后，用配方法求二次函数的值域.

解：设t=tanx,x∈［+kπ, +kπ］,k∈Z，

由正切函数的性质可得t∈［－,1］.

则y=t²－2t－3=（t－1）²－4.

因为y=t²－2t－3在区间［－，1］上是减函数，

所以，当t=－时，y_max=（－－1）²－4=,

当t=1时,y_min=（1－1）²－4=－4.

所以，所求函数的值域为［－4, ］.

方法归纳 求二次函数的最值时，要注意对称轴与给定区间的关系，当对称轴不在给定区间内时，函数是单调函数，其最值在区间的两个端点处取得；当对称轴在给定的区间内时，在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的区间端点处取另一最值.