Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的

3

倍，过椭圆上一点Q作斜率分别为k₁，k₂的直线QA，QB交椭圆于A，B两点，若点A，B关于原点对称，则k₁k₂的值为

-

1

3

．

Answer 1

分析：设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），代入椭圆方程，利用斜率计算公式即可得出k₁•k₂．

解答：解：因为椭圆的长轴长是短轴长的

3

倍，即2a=

3

×2b，即a=

3

b，即椭圆方程为x²+3y²=3b²．
设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），代入椭圆方程x²+3y²=3b²，
得

x

2 1

+3

y

2 1

=3b2，
所以k1k2=

y-y1

x-x1

?

y+y1

x+x1

=

y2- y 2 1

x2- x 2 1

=

y2- y 2 1

(3b2-3y2)-(3b2-3 y 2 1 )

=

y2- y 2 1

3 y 2 1 -3y2

=-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．

点评：本题主要考查理论直线与椭圆额位置关系，熟练掌握椭圆的标准方程及其对称性、斜率计算公式是解题的关键．