Question

函数f（x）=

1

4x+m

（m＞0），x₁、x₂∈R，当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）数列{a_n}，已知a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），求a_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁）+f（x₂）=

1

2

，得

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，由此可推导出m=2．
（2）由题意知a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）++f（

1

n

）+f（0）．由此可知2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]++[f（1）+f（0）]=

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n+1

2

，从而推出a_n=

n+1

4

．

解答：解：（1）由f（x₁）+f（x₂）=

1

2

，得

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，
∴4^x1+4^x2+2m=

1

2

[4^x1+x2+m（4^x1+4^x2）+m²]．
∵x₁+x₂=1，∴（2-m）（4^x1+4^x2）=（m-2）²．
∴4^x1+4^x2=2-m或2-m=0．
∵4^x1+4^x2≥2

4x1•4x2

=2

4x1+x2

=4，
而m＞0时2-m＜2，∴4^x1+4^x2≠2-m．
∴m=2．
（2）∵a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）++f（

n-1

n

）+f（1），
∴a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）++f（

1

n

）+f（0）．
∴2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]++[f（1）+f（0）]=

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n+1

2

．
∴a_n=

n+1

4

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．