Question

已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．

(1)求证：直线l过定点；

(2)判断该定点与圆C的位置关系；

(3)当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最长？

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：把直线l的方程整理成m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0． 　　由于m的任意性，有 　　所以直线l恒过定点D(3，1)． 　　(2)解：把点D(3，1)的坐标代入圆C的方程，得(3－1)2＋(1－2)2＜25，所以点D(3，1)在圆C内． 　　(3)解：当直线l经过圆心C(1，2)时，被截得的弦最长(等于圆的直径长)，又直线l过定点D(3，1)，知m＋1≠0．由直线l的方程，得其斜率k＝－，由点C，D的坐标，得直线l的斜率k＝＝－．所以－＝－，解得m＝－．所以，当m＝－时，直线l被圆C截得的弦最长．