Question

15．已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=$\sqrt{3}$cosC，结合C是三角形的内角，得出C=60°；
（2）由已知及余弦定理，基本不等式可求ab≤4，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵csinA=$\sqrt{3}$acosC，
∴由正弦定理，得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC
结合sinA＞0，可得sinC=$\sqrt{3}$cosC，得tanC=$\sqrt{3}$
∵C是三角形的内角，
∴C=60°；
（2）∵c=2，C=60°，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，当且仅当a=b时等号成立，即△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．