题目内容

已知n是正整数，证明不等式

(1)1＋＋＋…＋＜2

(2)1＋＋＋…＜2．

答案：
解析：

 　　解答　　(1)对任意正整数k(k≥2)，

　　解答　　(1)对任意正整数k(k≥2)，

　　∵k2＞k(k－1)＞0，

　　∴＜＝－．

　　∴1＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋1＋＝1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝2－＜2，

　　即1＋＋＋…＋＜2．

　　(2)∵＝＜＝2(－)(k∈N*)，

　　∴1＜2(－)，＜2(－)，＜2(－)，……

　　＜2(－)．

　　以上各式相加，得

　　1＋＋＋…＜2[(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2．

　　即1＋＋＋…＜2．

　　评析　　对于有关自然数的命题可以用数学归纳法论证，本例的两题从分式结构入手，考虑相邻自然数积的倒数及分母有理化因式，使得推导过程明白清楚，证法的本质采用了放缩的技巧．


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1an
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12
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bn
an
=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
．
（I）求数列{an}的通项公式：
（II）求
bn+1
an+1
-
bn+1
an
的值：
（III）当n≥2时，证明：
(b1+1)(b2+1)…(bn+1)
b1b2…bn
＞3-
2
2n
．
已知n是正整数，在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，在数列{bn}中，b1=a1，
当n≥2时，=++…+．
（I）求数列{an}的通项公式：
（II）求-的值：
（III）当n≥2时，证明：．

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