Question

已知n是正整数，数列{a_n }的前n项和为S_n，a₁=1，数列{

1

an

}的前n项和为T_n，数列{ T_n }的前n项和为P_n，S_n是na_n与a_n的等差中项•
（1）求S_n；
（2）证明：（n+1）T_n+1-nT_n-1=T_n；
（3）是否存在数列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n？若存在，求出所有数列{b_n}，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知2S_n=na_n+a_n，2S_n+1=（n+1）a_n+1+a_n+1，所以

an+1

an

=

n+1

n

，an=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1×

× a1=n，由此能求出Sn=

n(n+1)

2

．
（2）由（n+1）T_n+1-nT_n-1=n（T_n+1-T_n）+T_n+1-1=

n

n+1

+Tn+1-1=

n

n+1

+Tn+

1

n+1

-1=Tn，知T_n=（n+1）T_n+1-nT_n-1．
（3）由T_n=（n+1）T_n+1-nT_n-1，知P_n=（n+1）T_n-n，故存在数列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n，且b_n=n．

解答：解：（1）∵S_n是na_n与a_n的等差中项，
∴2S_n=na_n+a_n，
∴2S_n+1=（n+1）a_n+1+a_n+1，
∴2S_n+1-2S_n=2a_n+1=（n+1）a_n+1+a_n+1-na_n-a_n，
化简，得

an+1

an

=

n+1

n

，
∴an=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1×

× a1=n，
∴{a_n}是等差数列，
∴Sn=

n(n+1)

2

．
（2）证明：∵（n+1）T_n+1-nT_n-1=n（T_n+1-T_n）+T_n+1-1
=

n

n+1

+Tn+1-1
=

n

n+1

+Tn+

1

n+1

-1=Tn，
∴T_n=（n+1）T_n+1-nT_n-1．
（3）解：∵T_n=（n+1）T_n+1-nT_n-1，
∴T₁+T₂+…+T_n=[2T₂-T₁-1]+[3T₃-2T₂-1]+…+[（n+1）T_n+1-nT_n-1]
=（n+1）T_n+1-T₁-n
=（n+1）T_n-n，
∴P_n=（n+1）T_n-n
∴存在数列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n，且b_n=n．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数列的前n项和的求法和数列的证明，解题过程中合理地进行等价转化．