Question

18．数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3n-2，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和求和之间的关系，结合等比数列的通项公式即可得到所求；
（2）由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1，
n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，可得a₁=1，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，
由S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
两式相减可得，a_n=2a_n-2a_n-1，
即为a_n=2a_n-1，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1；
（2）a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，
T_n=1•1+4•2+7•4+…+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=1•2+4•4+7•8+…+（3n-2）•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=1+3（2+4+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=1+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-2）•2ⁿ
化简可得，T_n=5-（5-3n）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．