Question

【题目】某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

产品的质量指数在的为三等品，在的为二等品，在的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量 数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

16.30	24.87	0.41	1.64

表中，，，

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.

（ⅰ）建立关于的回归方程；

（ⅱ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）

参考公式：对于一组数据：，，，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为，

Answer 1

【答案】(1) 平均销售利润为4元.

(2) （ⅰ）（ⅱ）投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元

【解析】

(1) 设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,求出相应的概率值，得到分布列与期望值；

(2) （ⅰ）由得，，令，，，则，利用表中数据求出即可；（ⅱ）设年收益为万元，则，利用导函数即可得到结果.

（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5,3.5,5.5

由直方图可得：一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15，

所以，

，

,

所以：随机变量的分布列为：

	1.5	3.5	5.5
P	0.15	0.45	0.4

所以，

故每件产品的平均销售利润为4元.

（2）（ⅰ）由得，，

令，，，则，

由表中数据可得，，

则

所以，，即

因为，所以

故所求的回归方程为

（ⅱ）设年收益为万元，则

设，，则

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减.

所以，当，即时，有最大值为768

即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.