Question

【题目】设函数

（1）若是函数的一个极值点，求函数的单调区间；

（2）当时，对于任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件可求，关系，代入后即可求解单调区间；

（2）先分离出，转化为求解相应函数的最值或范围，结合导数可求．

解：（1）定义域，，

由题意可得，(1)即，

所以，

由函数存在极值可知，，

时，由可得，函数在单调递增，由可得，函数在上单调递减.

时，由可得，，函数在上单调递减，由可得，在单调递增；

当时，由可得，或，由可得，，

故函数的单调递增区间，0，），单调递减区间；

综上所述：当，恒成立，不符合题意；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

当时，在上递减，在上递增.

（2）时，可得，，

令，，则，

令，，

则在上单调递减，

所以（1），

所以在上单调递减， ，即，

所以在上单调递减，（e），

故．

故的范围，．