Question

【题目】已知f（x）=﹣x3+ax，其中a∈R，g（x）=﹣ x ，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：设F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x3+ax+ ， ∵f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，
∴F（x）＜0在（0，1]上恒成立，
∴a＜x2﹣ x 在（0，1]上恒成立，
令h（x）=x2﹣ x ，
要求a的取值范围，使得上式在区间（0，1]上恒成立，
只需求函数h（x）=x2﹣ x 在（0，1]上的最小值．
∵h′（x）=2x﹣
= ，
由h′（x）=0，得（2 ﹣1）（4x+2 +1）=0．
∵4x+2 +1＞0，
∴2 ﹣1=0，x= ．
又∵x∈（0， ]时，h′（x）＜0，
x∈（ ，1]时，h′（x）＞0，
∴x= 时，h（x）有最小值h（ ）=﹣ ，
∴a＜﹣ ．
故实数a的取值范围是
【解析】把f（x），g（x）代入f（x）＜g（x），由f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．得到a＜x2﹣ x 在（0，1]上恒成立，构造辅助函数h（x）=x2﹣ x ，由导数求得h（x）在（0，1]上的最小值，则答案可求．