Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆： 和圆： .

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设为平面直角坐标系上的点，满足：存在过点的无穷多对相互垂直的直线和，它们分别与圆和相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）直线的方程为或；（2）点的坐标为或.

【解析】试题分析：（1）因为直线过点,故可以设出直线的点斜式方程，又由直线被圆截得的弦长为根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距, 即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率的方程, 解方程求出值, 代入即得直线的方程；（2）与（1）相同，我们可以设出过点的直线与的点斜式方程,由于两直线斜率为,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于直线斜率的方程,解方程求出值,代入即得直线与的方程．

试题解析：（1）由于直线与圆不相交；

∴直线的斜率存在，设方程为： ，

圆的圆心到直线的距离为，∵被截得的弦长为，

∴从而即，

∴直线的方程为：

（2）设点满足条件，

由题意分析可得直线的斜率均存在且不为0，

不妨设直线的方程为，

则直线的方程为： ，

∵和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，

∴的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，

即，

整理得，

∴，

即或，

因的取值有无穷多个，所以或，

解得或这样的点只可能是点或点．