题目内容
已知直线x=2与椭圆C：
+
=1交于两点E1，E2，任取椭圆C上的点P，若
=a
+b
（a，b∈R），则ab的最大值是 ．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
| OP |
| OE1 |
| OE2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由题意联立方程可求出E1（2，
），E2（2，-
），再由
=a
+b
（a，b∈R）写出点P的坐标，代入椭圆化简可得a2+b2-ab=1，从而求ab的最大值．
| 3 |
| 3 |
| OP |
| OE1 |
| OE2 |
解答：
解：联立x=2与
+
=1，
解得E1（2，
），E2（2，-
），
∴
=a
+b
=（2a+2b，
a-
b），
∴P（2a+2b，
a-
b），
∵点P在椭圆C上，
∴
+
=1，
∴a2+b2-ab=1，
∴a2+b2=ab+1≥2ab，
∴ab≤1，
即ab的最大值是1．
故答案为：1．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
解得E1（2，
| 3 |
| 3 |
∴
| OP |
| OE1 |
| OE2 |
| 3 |
| 3 |
∴P（2a+2b，
| 3 |
| 3 |
∵点P在椭圆C上，
∴
| (2a+2b)2 |
| 16 |
(
| ||||
| 4 |
∴a2+b2-ab=1，
∴a2+b2=ab+1≥2ab，
∴ab≤1，
即ab的最大值是1．
故答案为：1．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线联立求值及不等式的应用，属于中档题．
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