Question

【题目】如图，三棱柱的底面是等边三角形，在底面ABC上的射影为△ABC的重心G.

（1）已知，证明：平面平面；

（2）已知平面与平面ABC所成的二面角为60°，G到直线AB的距离为a，求锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接并延长交于，易知平面，进而可证明平面，可得，再由四边形是菱形，可得，从而可证明平面，进而可证明平面平面；

（2）连接，易知，进而可得，结合平面与平面所成的二面角的平面角为，由，可得，，，从而以为原点，，分别作为轴、轴，过点作平行与的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量、，由，进而可求出锐二面角的余弦值.

（1）证明：连接并延长交于，由已知得平面，

由平面，可得，

又，，平面，平面，所以平面，

由平面，可得，

因为四边形是平行四边形，且，所以四边形是菱形，所以，

又因为，且平面，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）连接，因为在底面上的射影是的重心，

所以与全等，

所以，因为，所以点为中点，所以，

故平面与平面所成的二面角的平面角为，

由，得，，，

故以为原点，直线分别作为轴、轴，过点作平行与的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设为平面的一个法向量，

则，可取，

设平面的一个法向量为，

则，可取，

所以，

故锐二面角的余弦值为.