Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，AB=2AD，∠ADB=90°，
（1）证明PA⊥BD；
（2）设PD=AD=1，求三棱锥D-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD即可得到BD⊥PD，再由BD⊥AD，根据线面垂直的判定定理即可得到BD⊥平面PAD，从而得出PA⊥BD；
（2）求出BD，利用V_D-PBC=V_P-BCD，即可求出三棱锥D-PBC的体积．

解答 （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊆面ABCD，
∴PD⊥BD
又∠ADB=90°，∴BD⊥AD．
$\begin{array}{l}∵PD∩AD=D\end{array}$，
∴BD⊥平面PAD，
∴BD⊥PA．（5分）
（2）解：在Rt△ADB中，AD=1，AB=2，故$\begin{array}{l}BD=\sqrt{3}\end{array}$，
∴V_D-PBC=V_P-BCD=$\frac{1}{3}$×$（\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}）×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$…..（10分）

点评 考查线面垂直的性质及判定定理，考查三棱锥D-PBC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．