Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=1，则点A到平面A₁BC的距离为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出A₁-ABC的体积等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再利用余弦定理求出cos∠BA₁C=$\frac{3}{5}$，从而sin∠BA₁C=$\frac{4}{5}$，从而得到${S}_{△B{A}_{1}C}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{4}{5}$=2，设点A到平面A₁BC的距离为h，由${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$，能求出点A到平面A₁BC的距离．

解答 解∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=1，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
${V}_{{A}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
${A}_{1}B={A}_{1}C=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴cos∠BA₁C=$\frac{5+5-4}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，∴sin$∠B{A}_{1}C=\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴${S}_{△B{A}_{1}C}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{4}{5}$=2，
设点A到平面A₁BC的距离为h，
则${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{A}_{1}C}•h$=$\frac{2}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法、余弦定理的合理运用．