Question

7．如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=$\frac{1}{2}$CC₁，点D是棱AA₁的中点，且C₁D⊥BD
（1）求证：CA⊥CB
（2）求直线CD与平面C₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面ACC₁D₁，即可证明：CA⊥CB
（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线CD与平面C₁BD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵四边形ACC₁A₁为矩形  且D是棱AA₁的中点
∴C₁D⊥CD，
又C₁D⊥BD且BD∩CD=D，∴C₁D⊥平面BCD …（3分）
∵BC?平面BCD，∴C₁D⊥BC
 又∵BC⊥CC₁，且CC₁∩C₁D=C₁，
∴BC⊥平面ACC₁D₁，
∵AC?平面ACC₁D₁，
∴BC⊥AC；         …（6分）
（2）解：由（1）知：CA，CB，CC₁两两相互垂直，
以CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
设CA=CB=1，则C（0，0，0），D（1，0，1），B（0，1，0），C₁（0，0，2）…（8分）
设平面C₁BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，0，-1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，1）…（10分）
又$\overrightarrow{CD}$=（1，0，1）
设直线CD与平面C₁BD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故直线CD与平面C₁BD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$                  …（12分）

点评 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间的线面角的求法，考查推理能力和空间向量法，及运算能力，属于中档题．