Question

（1）已知y=

1

x

的图象为双曲线，在双曲线的两支上分别取点P，Q，则线段PQ的最小值为

2

2

；
（2）已知y=

3

x-

1

x

的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点P，Q，则线段PQ的最小值为

2

3

-2

．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的性质，当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是PQ的最小值．因此，求出双曲线y=

1

x

的实轴所在直线为y=x，再求y=x与双曲线的交点坐标，即可得到线段PQ的最小值．
（2）类似（1）的原理，利用导数工具求出双曲线y=

3

x-

1

x

的实轴所在直线为y=（

3

-2）x，再联解直线与双曲线方程，得到交点坐标后再用两点间的距离公式，可算出线段PQ的最小值．

解答：解：（1）∵y=

1

x

的图象为双曲线，两条渐近线分别为x轴和y轴
∴双曲线的实轴在直线y=x上，直线y=x被双曲线截得的线段长等于PQ的最小值
联解

y= 1 x y=x

，得交点为（1，1）和（-1，-1）
∴线段PQ的最小值为

(1+1)2+(1+1)2

=2

2

（2）函数y=

3

x-

1

x

的导数为y′=

3

+

1

x2

＞

3

，
所以函数的渐近线方程为：x=0与y=

3

x，
可得两条渐近线的角平分线与x轴所成的倾斜角为-15°，
其方程为：y=tan（-15°）x，即y=（

3

-2）x，
因此，两条渐近线的角平分线与函数y=

3

x-

1

x

的交点为：
（

2

2

，-

6 -2 2

2

），（-

2

2

，

6 -2 2

2

），
因此，线段PQ的最小值为

(- 2 2 - 2 2 )2+( 6 -2 2 2 + 6 -2 2 2 )2

=2

3

-2．
故答案为：2

2

，2

3

-2

点评：本题给出双曲线的方程，求直线被双曲线截得线段PQ的最小值．着重考查了双曲线的性质、两点间的距离公式和运用导数研究函数的图象等知识，属于中档题．