Question

已知函数f（x）=|

1

x

-1|．
（1）由函数y=

1

x

的图象经过怎样的变换可以得到函数y=f（x）的图象，并作出函数y=f（x）的图象；
（2）若集合A={y|y=f（x），

1

2

≤x≤2}，B=[0，1]，试判断A与B的关系；
（3）若存在实数a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据图象表达式之间的关系，确定图象之间的变化．
（2）根据集合A，B元素的关系，确定A，B的关系．
（3）根据函数的值域关系，通过讨论确定m的取值范围．

解答：解：（1）先将y=

1

x

的图象向下平移1个单位，再将所得图象位于 x轴下方的部分翻折到x轴上方即可得y=f（x）的图象．
其图象为                            …3’
注：不作出“渐近线y=1”扣（1分）
（2）由图象可知，当

1

2

≤x≤2时，0≤f（x）≤1，所以A=[0，1]=B   …8’
（3）∵a＜b，ma＜mb，∴m＞0
∵f（x）≥0，∴ma≥0，又a≠0，∴a＞0  …10’
1° 0＜a＜b≤1，由图象知，f（x）当x∈[a，b]递减，
∴

1 a -1=mb 1 b -1=ma

⇒a=b与a＜b矛盾   …12’
2° 0＜a＜1＜b，这时f（1）=0，则ma=0，而ma＞0
这亦与题设不符；                  …14’
3° 1≤a＜b，f（x）当x∈[a，b]递增

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

可知mx²-x+1=0在[1，+∞）内有两不等实根

由

△＞0 1 2m ＞1 m-1+1＞0

，得0＜m＜

1

4

综上可知m∈(0，

1

4

)…16’

点评：本题主要考查函数图象的变换，以及利用函数的图象求函数的值域，综合考查函数的性质．