Question

已知函数f(x)=|

1

x

-1|
（1）由函数y=

1

x

的图象经过怎样的变换可以得到函数y=f（x）的图象？请作出y=f（x）的图象；
（2）若存在实数a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数 解析式知，可将函数y=

1

x

的图象向下平移一个单位，再把所得的图象在x轴下方的部分关于x轴对称得到函数f(x)=|

1

x

-1|的图象；
（2）由题设条件存在实数a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，及函数的图象可以判断出m＞0，a＞0再分三类对m的取值范围进行讨论，即0＜a＜b≤1，0＜a＜b≤1，1≤a＜b三类，在每一类中确定出函数的最值，将其转化为方程，分别解出符合条件的m的范围，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）将函数y=

1

x

的图象向下平移一个单位，再把所得的图象在x轴下方的部分关于x轴对称，就可得到函数y=f（x）的图象．…（3分）
（2）由题意知a＜b，ma＜mb，
∴m＞0．
又∵f（x）≥0，
∴ma≥0．而a≠0，
∴a＞0，
∴ma＞0…（8分）
当0＜a＜b≤1时，
则

f(a)=mb f(b)=ma

⇒a=b矛盾…（9分）
当0＜a＜1＜b时，
∵f（1）=0∉[ma，mb]矛盾…（10分）
当1≤a＜b时，则

f(a)=ma f(b)=mb

即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

∴1-

1

x

=mx，即mx²-x+1=0在[1，+∞）上有两个不等根
记g（x）=mx²-x+1，则

1 2m ＞1 △＞0 g(1)≥0

解得0＜m＜

1

4

…（14分）
答：所求参数m的取值范围是0＜m＜

1

4

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查函数图象的变化，集合相等的意义，函数的值域概念，解题的关键理解题意，分类转化研究参数的取值范围本题考查了分类计件思想、方程的思想，转化的思想，考查了判断推理的能力，分类讨论的技巧