Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB

上变动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，试求x+y的最大值．

Answer 1

分析：建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．

解答：解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤

2π

3

，…（3分）
可得A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

），…（5分）
由

OC

=x

OA

+y

OB

得，x-

1

2

y=cosθ，

3

2

y=sinθ，…（9分）
∴

3

2

y=

3

sinθ，∴x+y=cosθ+

3

sinθ=2sin（θ+

π

6

），…（12分）
∴x+y的最大值是2．   …（14分）

点评：本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．