Question

【题目】已知函数.

（1）试确定函数的零点个数；

（2）设，是函数的两个零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）证明见解析

【解析】

（1）由得，然后利用导数求出的单调性即可

（2）设，设，然后利用导数可得在递增，，即，进而可得，即，再由的单调性即可得到.

（1）由得，令，

函数的零点个数即直线与曲线的交点个数，

∵，

由得；由得，

∴函数在单调递增，函数在单调递减.

∴当时，函数有最大值，，

又当时，，，当时，，

∴当时，函数没有零点；

当或时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点.

（2）由（1）知，不妨设，设，

∴，

由于，又易知是减函数，

当时，有，又，得，

所以在递增，，即.

由得，又，

∴，

由在上单调递增，得在单调递减，

又，∴，即.