Question

【题目】对于数列、，把和叫做数列与的前项泛和，记作为.已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列与数列的前项的泛和为，且恒成立，求实数的取值范围；

（3）从数列的前项中，任取项从小到大依次排列，得到数列、、、；再将余下的项从大到小依次排列，得到数列、、、.求数列与数列的前项的泛和

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）当时，求得，当时，可得，由此判断数列为等比数列，进而求得通项；

（2）易知，中偶数项为，奇数项为（为奇数），则可分及两种情况，可得与的不等关系，再利用数列的性质求解；

（3）解决该小问的关键是分析出满足，进而问题转化为求数列的前项和，再利用错位相减法即可求解．

（1）当时，；

当时，由①，可得②，

①②得，，数列是以为首项，为公比的等比数列，；

（2）当为偶数时，即当时，

，

故对任意的，都成立，即对任意的恒成立，

易知，当时，，故；

当为奇数时，即当时，

，

故对任意的，恒成立，即对任意的恒成立.

易知，当时，，故.

综上所述，实数的取值范围是；

（3）易知，数列的前项中，奇偶项各一半，且奇数项为负，偶数项为正，

设数列中任取了个偶数项，个奇数项，则数列中必然是个奇数项，个偶数项，

又数列由小到大排列，数列由大到小排列，则必有，即.

，③

由③得，，④

由③④得，，

因此，.