Question

已知椭圆，点在椭圆上。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的短半轴长为，直线与椭圆交于A、B，且线段AB以M(1，1)为中点，求直线的方程。

Answer 1

（1）；  （2）直线方程为：。

试题分析：(1)因为点在椭圆上，所以，即，
又，所以。
（2）因为椭圆的短半轴长为，所以，所以椭圆方程为：，
设，则，，两式相减，得：，因为线段AB以M(1，1)为中点，，所以，即，所以直线方程为：。
点评：利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。这种方法为点差法。一般情况下，遇到弦中点的问题可以先考虑点差法。 利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。点差法适应的常见问题：  弦的斜率与弦的中点问题。