Question

（12分）已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，
（1）求证：；
（2）求证：A、F、B三点共线；
（3）求的值．

Answer 1

（3）

试题分析：（1）准线为y=-1,F(0,1),设P(n,-1),,
因为,所以，
所以,即,
,即,
所以a,b是方程,
所以,
所以.
(2)由（1）知a+b=2n,,
所以直线AB的方程为即
因为a+b=2n,ab=-4,所以直线AB的方程为,
所以恒过点F（0，1）.
(3)
,
因为,所以,
所以为常数.
点评：根据导数的几何意义，分别求出切点A，B处的导数即A,B的斜率，然后证明斜率之积为-1，来证明两条切线垂直.证明A，B，F三点共线，关键是利用第（1）问的结果，求出AB的点方程，证明点F的坐标满足此方程即可.第（3）问分别求出和都用n表示，从而证明其为定值.