Question

已知函数.

（Ⅰ）设，若在上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：存在，使.

Answer 1

（Ⅰ）a≥0；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分类讨论当a=0时，当a=4时，当a＞0，时，当a＜0时，判断求解．

（Ⅱ）求出|f（1）|=|1+a+b|，|f（﹣1）|=|1﹣a+b|，分类当1+b≥0，a≥0时，

当1+b＜0，a＜0时，当1+b＜0，a＜0时，当1+b＜0，a＞0时，判断大小．

试题解析：函数

（Ⅰ）

为对称轴，

①当a=0时，

∴|f（x）|在上单调递增，

∴a=0符合题意，

②当a=4时，，

∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，

∴a=4符合题意，

③当a＞0，时

，

∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，

∴a＞0，，符合题意，

④当a＜0时，，

为f（x）=0，的左边的一个零点，

∴|f（x）|在x∈[0，]上单调递减，

∴a＜0，不符合题意，

综上a≥0，

（Ⅱ）证明：函数

|f（1）|=|1+a+b|，|f（﹣1）|=|1﹣a+b|，

∵当1+b≥0，a≥0时，f（1）=|1+a+b|≥|a|，

当1+b＞0，a＜0时，|f（﹣1）|=|1﹣a+b|≥|a|，

当1+b＜0，a＜0时，|f（1）|=|1+a+b|≥|a|，

当1+b＜0，a＞0时，|f（﹣1）|=|1﹣a+b|≥|a|，

∴存在 [﹣1，1]，使|f（）|≥|a|．

考点：二次函数的性质．