Question

如图，己知椭圆长轴|A₁A₂|=6．焦距．过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求|MN|的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由己知条件知，a=3，c=2，焦点x轴（由图可知），从而可求椭圆的方程；
（2）由MN所在直线方程y=x+2与椭圆的方程为联立，用韦达定理结合弦长公式|MN|=•|x₁-x₂|即可求得|MN|的长．
解答：解：（1）由己知条件知，，
∴b²=a²-c²=1，由图可知，其焦点在x轴，
∴椭圆的方程为．     （4分）
（2）∵F₁（-2，0），∠F₂F₁M=，
∴MN所在直线方程为，
联立方程组得：消去y得，（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程10x²+36x+63=0的两根，
∴x₁+x₂=-，
∴x₁•x₂=，（8分）
∴|MN|=•|x₁-x₂|（10分）
=•
=•
=•=．
∴．    （12分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查弦长公式的应用，突出考查方程思想与化归思想，属于中档题．