Question

如图，己知椭圆长轴|A₁A₂|=6．焦距|F1F2|=4

2

．过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）当∠F2F1M=

π

4

时，求|MN|的长．

Answer 1

分析：（1）由己知条件知，a=3，c=2

2

，焦点x轴（由图可知），从而可求椭圆的方程；
（2）由MN所在直线方程y=x+2

2

与椭圆的方程为

x2

9

+y2=1联立，用韦达定理结合弦长公式|MN|=

1+12

•|x₁-x₂|即可求得|MN|的长．

解答：解：（1）由己知条件知，a=3，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=1，由图可知，其焦点在x轴，
∴椭圆的方程为

x2

9

+y2=1．     （4分）
（2）∵F₁（-2

2

，0），∠F₂F₁M=

π

4

，
∴MN所在直线方程为y=x+2

2

，
联立方程组得：

x2 9 +y2=1 y=x+2 2

消去y得10x2+36

2

x+63=0，（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程10x²+36

2

x+63=0的两根，
∴x₁+x₂=-

18 2

5

，
∴x₁•x₂=

63

10

，（8分）
∴|MN|=

1+12

•|x₁-x₂|（10分）
=

2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

648 25 -4× 63 10

=

2

•

3 2

5

=

6

5

．
∴|MN|=

6

5

．    （12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查弦长公式的应用，突出考查方程思想与化归思想，属于中档题．